Деление на ноль невозможно windows 10

Обновлено: 04.02.2023

Наверняка ещё с самых первых занятий по алгебре в школе вам запомнилось, что делить на ноль нельзя . Но ведь помимо запрета, должен быть и какой-то здравый смысл. Ведь наверное не просто так бородатые ученые мужи придумали, что на 1 делить можно,а на 0 нельзя. Да и нельзя ли делить на ноль на самом деле?

Если кто-то разделит на ноль, то скорее всего дело кончится этим:

Когда школьный преподаватель строго настрого запрещал вам делать это и зачеркивал примеры, где вы пытались выполнять подобные действия, он руководствовался логикой, что частное от деления при обратном перемножении должно дать то число, которое мы разделили . С 0 такое действие не получается, так как любое число при перемножении на ноль даст ноль.

a/b=c, а значит a = b*c. Если b = 0 , то и логика рушится.

В информатике деление на ноль также не допускается . Компьютер «мыслит» с помощью стандартной арифметики, где деление на ноль не имеет никакого смысла . Как мы помним из терминатора, робот не может жить без смысла. Компьютер, вообщем-то, тоже.

Если подобное действие закрадется в логику программы, то произойдет ошибка. Причем, в некоторых случаях ошибка необрабатываемая, что может привести к серьезным последствиям и сбоям в работе всего алгоритма.

В высшей математике , которая преподается в университете, ситуация с делением на ноль более интересная.

Там делить на ноль вполне можно . Есть разные алгебраические структуры (ну или множества, для простоты понимания) и если расширить структуру кольца, то это действие приобретает смысл. Полученная структура будет именоваться колесом.

Однако, для студентов пляска начинается от теории пределов.

Помните формулировку — стремится, но никогда не пересекает . По этой логике можно проработать стандартных график гиперболу и увидеть, что действительно, в область нуля ничего не влезает, но зато стремится.

Возвращаясь к пределам, мы рано или поздно встречаем некоторый пример, где нужно найти lim 77/x, при x стремящемся к нулю. А что значит стремится? Это значит, что x — уже почти полный ноль, но всё-таки чуточку больше. Это так называемые гиперреальные числа . Они вводят понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Прикрываясь этим, смело делим на ноль В итоге получаем бесконечность. Логика тут простая — любое число на фоне нолика является бесконечно большим. Если разделить его на 0, который считается бесконечно малым, получится, что мы огромное число разделили на микрочисло. Вот и произошла реакция, результатом которой стала бесконечность.

Вы не шутите с такими вещами, а то очередной конец света настанет:)

Делить он будет через специально написанную для деления программу.
А программу напишет специально обученный человек, который знает, что делить на ноль бессмысленно.

Тут нужен какой-то оригинальный алгоритм деления, который включал бы в себя и деление на ноль. Это если и возможно, то в рамках какой-то другой, еще не разработанной математики.

Такое деление можно осуществить в пределе, т. е. делить на всё мЕньшую величину, приближающуюся к нулю. В этом случае все зависит от того, как ведет себя числитель. Если числитель не изменяется или растет, то при делении на всё меньшую величину результут будет все больше и больше и в пределе — бесконечность, неограниченно большая величина. А если числитель тоже уменьшается, то мы получим бесконечно малую, которую делим на бесконечно малую (0/0). Это неопределенность. Если числитель уменьшается быстрее знаменателя то получим 0. Если знаменатель уменьшается быстрее числителя. то бесконечность, а если они уменьшаются с одинаковой скоростью — то число. Эти проблемы рассматриваются в разделе высшей математики.

Я прочитал обсуждения по данному вопросу. Особенно подчёркиваю и выделяю сильный и чётко аргументированный ответ Семёна Аркадьевича! Ирина Лебедева говорит о высшей математике. О том, что такие проблемы рассматриваются в разделе высшей математики. И это тоже правильно. У нас классная руководительница вела в школе математику. И, вот, помню такой случай. Мы начали деление изучать. И был простой пример, когда она спрашивала весь класс по цепочке. . там, вроде, такого 8 : 0. Ну и сколько же будет? Конечно, звучали варианты 8 и 0. Она продолжала опрашивать и всё не переходила к следующему примеру, но ничего не говорила. Так она несколько учеников опросила. Дошла очередь до меня. Я ответил, что на ноль делить нельзя, здесь нет ответа! Ну она похвалила, сказала, что молодец и то, что запомнил это. Ну, вообщем, так меня Лидия Алексеевна похвалила. Здесь же вопрос в другом. . Не в точности законов математики, и не в точности исполнения компьютерной программы. Что будет, если компьютер, всё — таки, поделит на ноль если убрать все программные ограничения? И добавлю ещё для интереса и продолжения. . и если убрать математический закон. . и просто помечтать? Тогда, я уже начинаю фантазировать. И мне приходит в голову мысль. А если на ноль поделить, то будет число. И, вполне, нормальное число. Я просто делю число на число, например, 15 : 3 = 5. А представляю этот пример таким образом:
15 : 0 = 5. И при этом, ничего не нарушил, а просто представил. Так же, для своего разнообразия можно представлять и другие примеры. Но главное помнить в математике, что на ноль делить нельзя!

Источник: А фантазировать можно, сколько угодно!

Я считаю, а то более менее уверен, что компьютер просто будет бесконечно думать, бесконечно подбирать числа от 0,1,2 и до триллионов и далее. Поскольку компьютер будет действовать алгоритму 0*х=0, действие обратное делению. Тоесть х, искомое, он будет перечислять бесконечно. В итоге вы либо не увидите ответа в калькуляторе, либо компьютер затормозит, ибо нагрузит на 100% процессор в поиске ответа на данное решение, и будет за секунды разбирать миллионы чисел, и не остановится. Думаю я ответил на вопрос

Либо ошибка системы будет — то-есть синий экран и/или как его называют синий экран смерти (не воспринимай в серьез слово «Смерти») Если же ты попытаешься разделить на ноль он просто выдаст ошибку или просто не напишет второй ноль

Неправильный расчет

Если вы или программа, которую вы используете, выполняет вычисления в любой программе и испытывает ошибку деления, убедитесь, что выполняемые вычисления возможны. Некоторые программы не способны проверить точность расчетов и могут выполнять недопустимые инструкции.

Аппаратная или программная несовместимость

Эта проблема может возникнуть, если программа несовместима с аппаратным или программным обеспечением на вашем компьютере. Убедитесь, что все установленное программное обеспечение компьютера соответствует современным требованиям и совместимо с операционной системой и аппаратным обеспечением внутри и подключено к компьютеру.

Проблема с драйвером

Если вы столкнулись с ошибкой разделения при использовании Windows, убедитесь, что вы используете последние версии драйверов и программного обеспечения для всех компонентов аппаратных устройств. Проверьте видеокарту, звуковую карту, сетевую карту и драйверы модема на компьютере.

Проблема с программным обеспечением

Если ошибка разделения возникает в игре или программе, и приведенные выше рекомендации не решают вашу проблему, убедитесь, что установлены все исправления программного обеспечения и обновления.

Кроме того, убедитесь, что в фоновом режиме не запущены никакие другие программы, которые могли бы вызвать вашу проблему, выполнив End Tasking для всех фоновых программ и TSR.

Внешний кэш или кэш 2-го уровня

Если вы столкнулись с ошибкой разделения в более старой программе или игре, это может быть вызвано проблемами совместимости с внешним кешем или кешем 2-го уровня. Временное отключение этой функции в настройке CMOS может решить вашу проблему.

Проблема с операционной системой

Если вы продолжаете испытывать ошибки разделения и пытаетесь выполнить все вышеперечисленные рекомендации, убедитесь, что это не проблема с операционной системой, переустановите операционную систему.

Аппаратная проблема

Наконец, если ни одна из вышеперечисленных рекомендаций не поможет или не поможет определить причину вашей проблемы, возможно, у компьютера проблема с оборудованием. Когда возникает ошибка деления из-за аппаратного обеспечения, это чаще всего вызвано проблемой с процессором компьютера (ЦП).

Ошибка с autoexec.bat или config.sys

Пользователи, работающие под управлением Microsoft Windows 3.x, могут временно отметить или удалить любые дополнительные строки, которые могут не потребоваться в autoexec.bat и config.sys.

Пользователям под управлением Microsoft Windows 95 или Windows 98 рекомендуется временно переименовать autoexec.bat и config.sys, чтобы эти файлы не вызывали проблему. Для этого следуйте инструкциям ниже:

1. щелчок Начало, Неисправность, а потом Перезагрузите компьютер в режиме MS-DOS,
2. В командной строке MS-DOS введите:

1. Как только файлы переименованы, перезагрузите компьютер.

Дополнительная справка и информация с autoexec.bat и config.sys находится на нашей странице autoexec.bat и config.sys.

Если вы не можете получить приглашение MS-DOS или Windows для переименования или редактирования файлов, загрузите компьютер только в режиме MS-DOS.

Мы все знаем, 0/0 есть Undefined и возвращает ошибку, если бы я поместил ее в калькулятор, и если бы я создал программу (по крайней мере, на C), ОС прервала бы ее, когда я попытался бы разделить на ноль.

Но что меня интересует, так это то, что компьютер даже пытается делить на ноль или он просто имеет «встроенную защиту», так что, когда он «видит», 0/0 он возвращает ошибку даже до попытки его вычисления?

0/0 не определено, любое другое число / 0 — это ошибка другого типа, вы, кажется,
Математически говоря, любое число, деленное на 0, не определено.
@jwg: «если бы оно имело значение, оно было бы 1» — не обязательно; Есть целые
Для пояснения терминологии здесь 0/0 называется неопределенной формой, а x / 0 для ненулевого x не определено . Вычисление, которое заканчивается 0/0, часто может быть рассчитано по-другому, чтобы дать реальный ответ, тогда как x / 0 по сути бессмысленно.
@jwg тогда тебя может заинтересовать правило l’hopital. Определенно есть случаи, когда 0/0 не подразумевает значение 1.

Процессор имеет встроенное обнаружение. Большинство архитектур наборов команд указывают, что ЦП будет перехватывать обработчик исключений для целочисленного деления на ноль (я не думаю, что все равно, будет ли делиться ноль).

Вполне возможно, что проверка делителя нуля происходит параллельно в аппаратном обеспечении вместе с попыткой выполнить деление, однако обнаружение нарушающего условия фактически отменяет деление и прерывает ловушку, поэтому мы не можем действительно сказать, является ли какая-то часть из этого попытался разделение или нет.

(Аппаратное обеспечение часто работает таким образом, выполняя несколько операций параллельно, а затем выбирая соответствующий результат, потому что тогда каждая из операций может быть начата сразу же, вместо того, чтобы сериализовать выбор соответствующей операции.)

Тот же механизм прерывания и исключения будет также использоваться при включении обнаружения переполнения, которое вы обычно запрашиваете, используя различные инструкции add / sub / mul (или флаг этих инструкций).

Деление с плавающей запятой также имеет встроенное обнаружение деления на ноль, но возвращает другое значение ( IEEE 754 указывает NaN ) вместо перехвата в обработчик исключений.

Гипотетически говоря, если процессор пропустил какое-либо обнаружение для попытки деления на ноль, проблемы могут включать:

• зависание ЦП (например, в цикле инф.) — это может произойти, если ЦП использует алгоритм деления, который останавливается, когда числитель меньше делителя (в абсолютном значении). Зависание, подобное этому, в значительной степени будет рассматриваться как сбой процессора.
• (возможно, предсказуемый) мусорный ответ, если ЦП использует счетчик для завершения деления на максимально возможном количестве шагов деления (например, 31 или 32 на 32-битной машине).

@Ankush «Сбой системы» на самом деле не то, что происходит на уровне процессора. Наиболее вероятное поведение процессора, который не улавливает деление на ноль, состоит в том, что он просто выполняет операцию деления, производит какой-то бессмысленный результат и продолжает работать. Также как когда вы добавляете два целых числа, которые переполняются.
Для плавающей запятой выбор между «NaN» и «trap» обычно устанавливается путем переключения флагов в FPU.
@Ankush В случае, если то, что сказал lxrec, было неясно: что касается процессора, то такой вещи, как сбой, не существует.
@Ankush Немногие ситуации вызывают «системный сбой» на уровне процессора. В этих случаях речь идет о таких вещах, как отключение тепловой защиты (защита от перегрева), тройные неисправности и аналогичные ситуации. Почти каждый сбой, с которым вы столкнетесь при обычном использовании, включая недействительные коды операций , обрабатывается путем перехвата и восстановления каким-либо образом или просто игнорирования ошибки и продолжения выполнения в потенциально нечистом состоянии, возможно, с установленным флагом ошибки.
Если вы не улавливаете деление на ноль, результатом будет, на языке программирования, «Неопределенное поведение». Это означает, что компьютер может делать все что угодно. Он может, как упоминает Берги, войти в багги-петлю и зависнуть. Он может просто выводить некоторую неопределенную серию битов, которая, как оказалось, была результатом их реализации логики деления (помните, что компьютер не «делит» в математическом смысле. Он выполняет операцию над двумя числами, которая достаточно близка к делению что мы обычно называем это «делением» (см. также округление с плавающей запятой).

Это зависит от языка, от компилятора, от того, используете ли вы целые числа или числа с плавающей запятой и так далее.

Для числа с плавающей запятой большинство реализаций используют стандарт IEEE 754 , где деление на 0 четко определено. 0/0 дает четко определенный результат NaN (не число), а x / 0 для x ≠ 0 дает либо + Infinity, либо -Infinity, в зависимости от знака x.

В таких языках, как C, C ++ и т. Д. Деление на ноль вызывает неопределенное поведение. Таким образом, согласно определению языка, все может произойти. Особенно то, чего ты не хочешь. Как и все отлично работает, когда вы пишете код и уничтожаете данные, когда его использует ваш клиент. Так что с языковой точки зрения не делайте этого . Некоторые языки гарантируют, что ваше приложение потерпит крах; это зависит от них, как это реализовано. Для этих языков деление на ноль приведет к сбою.

Многие процессоры имеют какую-то встроенную инструкцию «делить», которая будет вести себя по-разному в зависимости от процессора. На 32-битных и 64-битных процессорах Intel инструкции «делить» приводят к сбою приложения при попытке деления на ноль. Другие процессоры могут вести себя по-другому.

Если компилятор обнаружит, что при выполнении некоторого кода произойдет деление на ноль, и компилятор хорош для своих пользователей, он, скорее всего, выдаст вам предупреждение и сгенерирует встроенную инструкцию «делить», чтобы поведение такой же.

«На 32-битных и 64-битных процессорах Intel инструкции« делить »приводят к сбою приложения при попытке деления на ноль». Нужна цитата. Процессоры не имеют никакого представления о приложениях, они выполняют инструкции и (если мы включаем MMU) устанавливают ограничения на доступ к памяти (если только не в кольце 0 или эквивалент в архитектурах не-Intel-x86). То, что инструкция является частью приложения A, а не приложения B или компонента C операционной системы, не имеет отношения к ЦП; может ли инструкция быть инструкцией X или использовать адрес памяти Y, имеет значение.
Чтобы добавить комментарий @ MichaelKjörling: в ОС есть способы уведомления об этом (и других видах ошибок). В мире окон это EXCEPTION_INT_DIVIDE_BY_ZERO значение в EXCEPTION_RECORD котором будет обрабатываться (надеюсь) установлен изготовленном Exception Handling Handler
Иногда они делают что-то, кроме гарантии того, что ваше приложение будет аварийно завершено. Например, многие языки / платформы гарантируют, что они сгенерируют исключение при делении на ноль. Затем вы можете поймать и обработать указанное исключение без сбоев.
Вы можете удалить «может» внутри «Другие процессоры могут вести себя по-другому»: на платформе PowerPC деление просто дает нулевой результат при делении на ноль. Что гораздо полезнее, чем паническое поведение платформы X86.

Похоже, вам интересно, что произойдет, если кто-то создаст процессор, который явно не проверяет ноль перед делением. Что произойдет, полностью зависит от осуществления деления. Не вдаваясь в подробности, один вид реализации даст результат, в котором установлены все биты, например 65535 на 16-битном процессоре. Другой может повесить трубку.

Но что меня интересует, так это то, что компьютер даже пытается делить на ноль или он просто имеет «встроенную защиту», так что, когда он «видит» 0/0, он возвращает ошибку даже до попытки вычислить его?

Поскольку x/0 бессмысленно, точка зрения, компьютеры всегда должны проверять деление на ноль. Здесь есть проблема: программисты хотят вычислять (a+b)/c без необходимости проверять, имеет ли этот расчет смысл. Внутренний ответ на деление на ноль ЦП + тип числа + операционная система + язык заключается в том, чтобы либо сделать что-то довольно радикальное (например, аварийно завершить программу), либо сделать что-то слишком мягкое (например, создать значение, которое не смысл, такой как IEEE с плавающей точкой NaN , число, которое «не число»).

В обычных условиях программист должен знать, (a+b)/c имеет ли смысл. В этом контексте нет причин проверять деление на ноль. Если происходит деление на ноль, и если машинный язык + язык реализации + тип данных + ответ операционной системы на это должен привести к аварийному завершению программы, это нормально. Если ответ заключается в создании значения, которое в конечном итоге может загрязнить каждое число в программе, это тоже нормально.

Ни «что-то радикальное», ни «слишком мягкое» не является правильным решением в мире высоконадежных вычислений. Эти ответы по умолчанию могут убить пациента, разбить авиалайнер или взорвать бомбу не в том месте. В среде с высокой надежностью программист, который пишет, (a+b)/c будет забран до смерти во время проверки кода, или в наше время, возможно, будет забран автоматически до смерти инструментом, который проверяет верботные конструкции. В этой среде этот программист должен вместо этого написать что-то вроде div(add(a,b),c) (и, возможно, некоторую проверку состояния ошибки). Под капотом div (и также add ) функции / макросы защищают от деления на ноль (или переполнения в случае add ). То, что влечет за собой эта защита, зависит от конкретной реализации.

То, что NaN не подчиняется арифметике, которую вы изучали в школе, не означает, что в этом нет смысла. Это подчиняется другой арифметике

В современной системе вычисление передается в MPU внутри CPU и помечается как недопустимая операция, возвращаясь NaN .

В гораздо более старых системах, таких как домашние компьютеры 80-х годов, у которых не было деления на кристалле, расчеты выполнялись любым программным обеспечением. Есть несколько возможных вариантов:

• Вычитайте все меньшие и меньшие копии делителя, пока значение не достигнет нуля, и проследите, какие копии размера были вычтены
  • Если он проверяет ноль перед первым вычитанием, он быстро завершится и результат будет 0
  • Если предполагается, что он должен быть в состоянии вычесть хотя бы один раз, результат будет 1
  • При попытке расчета может произойти переполнение, log(0) и программа либо использует свои процедуры обработки ошибок, либо вылетает
  • Программное обеспечение может предполагать, что все логарифмы могут быть рассчитаны с фиксированным числом шагов и возвращать большое, но неправильное значение. Поскольку оба логарифма будут одинаковыми, разница будет 0 и e 0 = 1, что дает результат 1

  Другими словами, то, что произойдет, будет зависеть от реализации, и можно будет написать программное обеспечение, которое будет давать правильные и предсказуемые результаты для каждого значения, но, казалось бы, странные значения для 0/0 этого, тем не менее, все еще внутренне согласованы.

  

  Disclaimer

  Цель данной статьи — объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».

  Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии — желательно, но не обязательно.

  В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.

  Пролог

  Выход «за рамки» — это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.

  1. Вобще-то уже все поделили до нас!

  1.1 Аффинное расширение числовой прямой

  

  Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции .

  

  Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.

  Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом — основным инструментом математического анализа. Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.

  

  Оригинал

  Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева — крутой спуск, справа — крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности. Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.

  

  Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.

  Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.

  С геометрической точки зрения выполнено аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел “сжата” так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины. Расширение аффинное, но это не значит что оно пришло из Греции, это значит что сохраняется относительное положение точек (в нашем случае чисел) на прямой. Отсюда и следует, что сохраняются отношения “больше” и ”меньше” как для чисел между собой, так и в сравнении с границами.

  С точки зрения общей топологии выполнена двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком).

  1.2 Проективное расширение числовой прямой

  

  Прогуливаясь по графику , у нас есть только два пути к нулю (слева и справа). В конце каждого пути стоит небольшая «оградка». По странному стечению обстоятельств одна и та же «оградка» оказалась и на дне и на вершине «бытия». Если мы хотим чтобы пути сошлись, то за «оградкой» нам нужен телепорт из одного конца «бытия» в другой. Мы уже такие телепорты видали. Не проблема.

  

  Попробуем состыковать обе границы «бытия» так, как это делали наши предки. Перейдем на одно измерение выше. Отобразим одномерную линию на двумерной плоскости.

  

  После стыковки наличие двух знаковых бесконечностей теряет смысл. Вместо них можно ввести одну общую точку пересечения, беззнаковую бесконечность.

  

  Эта стыковка очень похожа на линию перемены даты находящуюся (в основном), между часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 в Тихом океане. Именно там находится телепорт из сегодня во вчера и из сегодня в завтра. У нас же телепорт из сверхмалых в сверхбольшие.

  Математическим языком:

  По факту это самостоятельное расширение, проведенное над исходным множеством вещественных чисел. Данное расширение не основывается на рассмотренном ранее аффинном расширении.

  С точки зрения общей топологии выполнена одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления идеализированной точки (бесконечности без знака).

  Аналогичным расширением над полем комплексных чисел является широко известная в математических кругах Сфера Римана.

  Хорошо, избавились от знака минус. Однако в нуле у нас разрыв второго рода и устранимой точкой разрыва его нельзя считать по определению. Нарушается требование «конечности» предела. Соответственно мы не можем судить о равенстве предела справа и слева.

  Но так как приближение к бесконечности выполняется по одинаковым правилам, мы можем утверждать что пределы слева и справа совпадают. Соответственно мы можем принять наш разрыв за точку устранимого разрыва в бесконечности.

  Математическим языком:

  Посмотрим внимательнее, как мы оперируем бесконечно большими и малыми величинами. При операциях мы часто пренебрегаем малыми низшего порядка попросту отбрасывая их при записи результата.

  

  Аналогичная ситуация при нахождении производных

  

  Отбрасывая «мелочевку» мы теряем информацию! Это хорошо видно на примере взятия пределов. Рассмотрим две функции, которые стремятся к положительной бесконечности при стремлении аргумента к нулю справа.

  

  Однако одинаковая запись результата взятия предела не свидетельствует о их равенстве. Данные бесконечности разного порядка и это подтверждается отсутствием конечного предела в отношении одной функции к другой.

  

  В нестандартном анализе такие упрощения не допустимы. Поле вещественных чисел расширяется путем введения гиперреальных чисел. Бесконечно малые представлены в виде привычного значения — ноль, но в довесок хранится вся выкинутая “мелочевка”. Для бесконечно больших потенциальная бесконечность (две или одна — неважно), разбивается на множество актуальных бесконечностей. С одной стороны мы усложняем (теряем возможность поглощения/пренебрежения). С другой стороны мы приобретаем возможность сравнения бесконечно малых и бесконечно больших величин. А это значит что мы можем рассматривать бесконечности как числа.

  • с обеих сторон путь (количество элементов, которые нужно пройти) от нуля до бесконечности одинаков;
  • алгоритм приближения (формула в виде дроби) одинаков;
  • знак минус в алгоритме не влияет на скорость или ускорение приближения к бесконечности.

  Для дальнейших рассуждений понятие актуальной бесконечности нам больше не потребуется. Мы возвращаемся в привычный мир где будем оперировать понятием бесконечность, подразумевая потенциальную бесконечность.

  Хорошо, пределы совпадают. Теперь, похоже, все готово для устранения разрыва между ними.

  

  В математической модели, использующей проективное расширение числовой прямой, деление на ноль определено.

  

  Создается впечатление что наша задача решена. Однако не будем спешить, посмотрим к каким последствиям это привело. В дополнение к делению в системе определены следующие операции (напомним, что бесконечность беззнаковая).

  

  Практически все они с дополнительными условиями, это настораживает. Но не будем спешить, лучше посмотрим на список неопределенных операций:

  

  Посмотрим как будет вести себя дистрибутивный закон. Подставим в него определенные значения и выполним требуемые операции.

  

  Как следствие, часть тождеств перестает вести себя так как мы привыкли. Однако, они не исчезли бесследно. Дистрибутивный закон работает только справа налево (т.е. в случае, когда правая часть равенства определена). Это один из ярких примеров негативных последствий. Другие же тождества сохранилась в более-менее устойчивой форме.

  

  1. Изменилось привычное поведение тождеств. Чтобы ими оперировать, нужно не забывать про новые дополнительные условия.
  2. Искажено привычное поведение нуля. Мы привыкли рассуждать, если ноль раз взять что-либо, то будет ноль. Однако в данной алгебраической системе произведение нуля на бесконечность не определено. Соответственно алгебраическое выражение с переменными, в котором встречается например такая запись , не может быть упрощено в одностороннем порядке.
  3. Исчезает возможность привычного сравнения. Сравнение на больше-меньше определено только на части пространства. Например, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.
  4. Полученная алгебраическая структура не поле в терминах общей алгебры. Нарушается дистрибутивный закон (показано выше). Так же не существует обратного элемента для бесконечности (произведение этого элемента и бесконечности должно дать единицу). Последние можно рассматривать как следствие неопределенности деления бесконечности на бесконечность. Но все же следует понимать что это грубое упрощение. Строгое определение обратного элемента не связано с операцией деления.

  

  1.2 Колесо

  На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.

  Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.

  

  Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком «/».

  

  

  Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.

  

  • Умножение ∞ либо ⊥ на ноль не дает ноль. Это приводит к тому, что в общем случае.
  • Для ∞ и ⊥ отсутствуют обратные элементы по обеим бинарным операциям. Это значит, что по умножению в общем случае. Как следствие, нет возможности ввести бинарную операцию деления покрывающую все пространство.
  • Симметричная ситуация по сложению, в общем случае.

  

  С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем. А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).

  В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.

  

  Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .

  

  На этот раз результат намного лучше.

  1. Все операции хорошо определены и нет возможности «вывалиться за борт».
  2. Элементарная алгебра является частным случаем колеса. Если мы отбросим надстройки ∞ и ⊥ (то есть снова сможем утверждать что и ), то все формулы выродятся в привычные.
  3. По ощущениям все что было “не определено” (Undefined) при проективном расширении было обозначено символом . Данный объект так же поглощает все с чем столкнется как и “не определено”. Все щели, где появились неопределенности при проективном расширении, были заткнуты данным объектом.

  Стоит отметить, существуют и другие алгебраические системы с делением. Например, «луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а так же отказом от бинарного деления.

  Возможность «передвигать неизвестные» для математики норма. Но все эти обертки не дают ответа на главный вопрос, что же там внутри?

  Читайте также:

    

  • Как установить java home linux

    

  • Ошибка wmi код 10 windows 7

    

  • Синхронизация времени windows 10

    

  • Windows не удалось подключиться к android

    

  • Как обновить teamviewer linux